Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са и ци­лин­дра равен 3, так как диа­метр равен 6. Пусть H  — вы­со­та ко­ну­са, L  —  об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, а H₁  — вы­со­та ци­лин­дра. Так как пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са, рав­ная про­из­ве­де­нию ра­ди­у­са ос­но­ва­ния и вы­со­ты, равна 12, то вы­со­та ко­ну­са равна 6. Тогда об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 5, а зна­чит, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са Под­ста­вим: Так как R  =  3, то пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна а по усло­вию она равна S_б.к, зна­чит, H₁=2,5. Найдём объем ци­лин­дра: под­ста­вим и по­лу­чим, что объем ци­лин­дра равен

Ответ:

Пусть H  — вы­со­та ко­ну­са, а H₁  — вы­со­та ци­лин­дра. Из осе­во­го се­че­ния на­хо­дим, что тогда объем ко­ну­са равен а объем ци­лин­дра  —  Так как конус и ци­линдр имеют рав­ные объ­е­мы, то Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна:

Ответ:

Осе­вое се­че­ние ко­ну­са  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник.

Ответ: в.

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти По усло­вию:

Тогда Вы­со­та ко­ну­са равна:

Тогда Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди шара:

Из усло­вия сле­ду­ет, что тогда:

Ответ:

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти По усло­вию:

Тогда Зная, что по­лу­ча­ем:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди шара:

Из усло­вия сле­ду­ет, что тогда:

Ответ:

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са L яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом сек­то­ра, т. е.

L  =  r  =  12 см.

Пусть угол сек­то­ра, Най­дем длину дуги сек­то­ра по фор­му­ле

Най­ден­ная длина l равна длине окруж­но­сти, ле­жа­щей в ос­но­ва­нии ко­ну­са, т. е. Тогда

Най­дем вы­со­ту ко­ну­са, при­ме­нив тео­ре­му Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка POA  — пря­мо­уголь­ный:

Най­дем объём ко­ну­са по фор­му­ле

Ответ:

Пусть R  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са, L  — об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, L  =  8 см. Тогда

Так как пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния, то имеем:

Най­дем длину окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са и длину дуги сек­то­ра:

По­сколь­ку длина этой дуги равна длине окруж­но­сти в ос­но­ва­нии ко­ну­са, то

Ответ:

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са. По тео­ре­ме си­ну­сов Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOB вы­со­та ко­ну­са

По­лу­ча­ем объём ко­ну­са:

Ответ:

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са.   — вы­со­та ко­ну­са,   — ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са, O  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти,   — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти. Так как центр впи­сан­ной окруж­но­сти лежит на пе­ре­се­че­нии бис­сек­трис, то BO  — бис­сек­три­са От­сю­да Вы­ра­зим:

По­лу­ча­ем объём ко­ну­са:

Ответ:

Конус может быть по­лу­чен вра­ще­ни­ем пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка во­круг од­но­го из его ка­те­тов, по­это­му вер­ным яв­ля­ет­ся утвер­жде­ние г).

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой г).

Се­че­ни­ем ко­ну­са плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через его вер­ши­ну и хорду ос­но­ва­ния, яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник.

Ответ: в).

Тре­уголь­ник ASO рав­но­бед­рен­ный, так как SO  — это вы­со­та, OA  — ра­ди­ус ко­ну­са, а по усло­вию они равны. Зна­чит,

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти равна

Ответ:

Тре­уголь­ник ASO рав­но­бед­рен­ный, так как SO  — это вы­со­та. Угол A равен 30°, так как про­тив него лежит сто­ро­на, рав­ная по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. Зна­чит,

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти равна

Ответ:

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC, AB  =  4 см, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем BH:

Най­дем объем ко­ну­са:

Ответ:

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC. AB = 2 см, r = AH = HC = 1 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем BH:

Най­дем объем ко­ну­са:

Ответ: см³.

Если осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен по­ло­ви­не длины сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка. Тогда

Ответ:

Если осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен по­ло­ви­не длины сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка. Тогда

Ответ:

Ос­но­ва­ние ко­ну­са впи­са­но в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, а вер­ши­ны ко­ну­са и пи­ра­ми­ды сов­па­да­ют. DO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды и ко­ну­са, O  — центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти. Зна­чит, тогда Так как DK и DM  — об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са, а тре­уголь­ник DMK  — осе­вое се­че­ние, то Тогда имеем:

От­сю­да угол Тогда из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MOD вы­со­та ко­ну­са

Объём ко­ну­са найдём по фор­му­ле

Ответ:

Ос­но­ва­ние ко­ну­са впи­са­но в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, а вер­ши­ны ко­ну­са и пи­ра­ми­ды сов­па­да­ют. Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то ABCD  — квад­рат. Тогда SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды и ко­ну­са, O  — центр впи­сан­ной в квад­рат ABCD окруж­но­сти. Зна­чит, тогда SM  — об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са. Угол SMO  =  α  — угол на­кло­на об­ра­зу­ю­щей. Из рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка DSA: Тогда из тре­уголь­ни­ка SOM имеем:

От­сю­да ис­ко­мый угол Тогда из тре­уголь­ни­ка SOM вы­со­та ко­ну­са

Объём ко­ну­са найдём по фор­му­ле

Ответ:

Осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, по­это­му пра­виль­ный ответ б).

Ответ: б).